LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 7 de Janeiro de  2013						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere um sistema linear AX = B com m (m >1) equações e n incógnitas. Seja CX = D um sistema que resulta de AX = B por eliminação de uma equação.
(15) a) Se o sistema CX = D é impossível o que pode concluir sobre o sistema AX = B? Porquê?
(15) b) Se o sistema AX = B tem solução única o que pode concluir sobre o sistema CX = D? Porquê?

2. Considere a matriz  = .
(10) a) Mostre que = (1, 0, 1) não pertence ao espaço das colunas de .
(15) b) Apresente uma base para o espaço nulo de .
(30) c) Mostre que   definida por , é uma aplicação linear. A aplicação  é sobrejectiva? Porquê?

3. Considere a matriz M = .
(25) a) Calcule os valores próprios da matriz M.
(15) b) Apresente um vector próprio associado ao menor valor próprio da matriz M.
(20) c) Defina matriz diagonalizável e investigue se a matriz M é diagonalizável.
(25) d) Apresente a expressão da forma quadrática M  . Classifique a forma.

(30) 4. Sejam E um espaço vectorial real de dimensão n e  uma aplicação linear. Prove que  é injectiva se e somente se todos os valores próprios de  forem não nulos.

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 28 de Janeiro de 2013   						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere as matrizes   =     e   =     com .
(20) a) Discuta o sistema  =  em função dos valores de a e b.
(15) b) Apresente o conjunto das soluções para os valores de a e b para os quais o sistema tem múltiplas soluções.
(20) 2. Mostre que

é um sistema de Cramer. Use a regra de Cramer para calcular o valor de  na solução do sistema.

3. Considere o espaço vectorial ℳnn das matrizes quadradas de ordem n e os conjuntos 

F = { A∊ ℳnn: A é diagonal}    e    G = { A∊ ℳnn: A é hemi-simétrica}

(20) a) Mostre que (F ∩ G) é um subespaço de ℳnn e apresente dim (F ∩ G).
(20) b) Fixe n = 3. Apresente uma base para G.

4. Considere a matriz M = .
(25) a) Determine os valores próprios da matriz M. 
(25) b) Defina subespaço próprio de uma matriz e apresente um subespaço próprio de M.
(25) c) Apresente a expressão da forma quadrática M . Classifique a forma.

(30) 5. Seja W um subespaço vectorial de . Construa uma aplicação linear f : 
tal que Im (f) = W.