LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 10 / JAN / 2011							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere o sistema linear 
		com .
 (30) a) Discuta o sistema em função dos valores de  e de .
b) Fixe . Seja A∊ ℳ33 a matriz dos coeficientes das variáveis nas equações.
(10) b1) Apresente um vector de  que não pertença ao espaço das colunas de A.
(20) b2) Defina espaço nulo de uma matriz e apresente o espaço N(A).

2. Considere a matriz B = .
(20) a) Calcule os valores próprios de B.
(10) b) A matriz B é invertível? Porquê?
(15) c) A matriz B é diagonalizável? Porquê?
(20) d) Apresente a expressão da forma quadrática . Classifique a forma. 

3. Considere a aplicação φ: definida por φ(x1, x2, x3) = (x1+ x2, x1+2x3, 5x3) e o conjunto H dos vectores gerados pela sequência.
(20) a) Demonstre que φ é uma aplicação linear.
(25) b) Apresente φ(H) e a respectiva dimensão.

(30) 4. Seja E um espaço vectorial de dimensão finita e seja f : E → E uma aplicação linear. A aplicação f é idempotente se f 2 = f ○ f = f.
Mostre que se f é idempotente então ker ( f ) ∩ Im ( f )= {0E}.