LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 18 de Junho de 2013   						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

(25) 1. Determine os valores de ℝ para os quais a curva  passa pelos pontos P = (1, 2), Q = (-1, 6), R = (-2, 38) e S = (2, 6).

2. Investigue se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
(20) a) Se A∊ ℳnn é invertível, então A + AT também é uma matriz invertível.
(25) b) Se B ∊ ℳnn então BTB e BBT têm os mesmos valores próprios.
Apoie cada resposta numa prova sucinta ou num contra-exemplo.

(25) 3. Considere os determinantes 
Dn = 
com n ∊ ℕ. Calcule o determinante D4.

4. Considere a matriz M = .
(15) a) Apresente uma base para o espaço das colunas de M. 
(20) b) Calcule os valores próprios de M .
(25) c) Apresente dois vectores próprios de M que sejam linearmente independentes.
(20) d) Defina imagem de uma aplicação linear e apresente a imagem da aplicação linear definida pela matriz M.
(25) e) Apresente a expressão da forma quadrática definida pela matriz M. Classifique a forma.