LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 25 / JANEIRO / 2012							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Seja A ∊ ℳmn  e sejam  A1, A2, … , An  as respectivas colunas.
(15) a) Mostre que os sistemas AX = Aj (1 j  n) são possíveis.
(20) b) Considere B1 = , B2 =  e B3 = . Use o resultado enunciado na alínea a) para construir uma matriz A tal que os sistemas AX = B1 e AX = B2 sejam possíveis e o sistema AX = B3 seja impossível.
2. Considere a matriz M = .
(15) a) Apresente o espaço das linhas de M e a respectiva dimensão.
(30) b) Defina valor próprio de uma matriz e calcule os valores próprios da matriz M.
(20) c) Apresente 2 vectores próprios de M  linearmente independentes. Justifique a sua escolha.
(25) d) Apresente a expressão da forma quadrática f (x) = xT M x e classifique-a.

(35) 3. Considere as seguintes afirmações:
a) Se A∊ ℳnn é uma matriz invertível e A2 = A então (A - In) é uma matriz invertível.
b) Se f :  é uma aplicação linear e f  f é a aplicação identidade, todos os valores próprios de f são, em valor absoluto, iguais a 1.
Indique para cada uma delas se é verdadeira ou falsa e apresente uma prova sucinta para justificar a sua resposta.

4. Considere os subconjuntos de :  e .
(25) a) Determine F ∩ G.
(15) b) F ∩ G é um subespaço de ? Porquê?