LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 26 / JANEIRO / 2011							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

(25) 1. Use a regra de Cramer para determinar o valor de z na solução do sistema linear:

(30) 2. Considere as seguintes afirmações:
(a) Se A∊ ℳnn  e A2 é invertível então A é invertível.
(b) Se A∊ ℳnn  é diagonalizável então A é invertível.
Para cada uma delas indique se é verdadeira ou falsa. No caso de ser verdadeira faça uma prova sucinta; no caso de ser falsa apresente um contra-exemplo.
3.
(10) a) Defina valor próprio e vector próprio de uma matriz quadrada de ordem n.
b) Considere a matriz M = .
(25) b1) Determine os valores próprios de M.
(15) b2) Apresente o subespaço próprio de M associado ao menor valor próprio.
(25) b3) Apresente a expressão da forma quadrática Φ(x) = xT M x. Classifique a forma.

4. Considere a aplicação linear φ :  definida por
φ
(20) a) Apresente Im (φ) e uma base de Im (φ).
(25) b) Se F e G são dois subespaços de  e  F ∩ G={0}, pode afirmar-se que φ(F) ∩ φ(G) = {0}? Porquê?

(25) 5. Seja E um espaço vectorial de dimensão finita, com dim (E) > 4, e seja F um subespaço próprio de E. 
Prove que se dim (H∩ F)≤  2 para qualquer subespaço H⊂ E, H ≠F, então dim (F) ≤  2.