LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 28 de Janeiro de 2013   						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere as matrizes   =     e   =     com .
(20) a) Discuta o sistema  =  em função dos valores de a e b.
(15) b) Apresente o conjunto das soluções para os valores de a e b para os quais o sistema tem múltiplas soluções.
(20) 2. Mostre que

é um sistema de Cramer. Use a regra de Cramer para calcular o valor de  na solução do sistema.

3. Considere o espaço vectorial ℳnn das matrizes quadradas de ordem n e os conjuntos 

F = { A∊ ℳnn: A é diagonal}    e    G = { A∊ ℳnn: A é hemi-simétrica}

(20) a) Mostre que (F ∩ G) é um subespaço de ℳnn e apresente dim (F ∩ G).
(20) b) Fixe n = 3. Apresente uma base para G.

4. Considere a matriz M = .
(25) a) Determine os valores próprios da matriz M. 
(25) b) Defina subespaço próprio de uma matriz e apresente um subespaço próprio de M.
(25) c) Apresente a expressão da forma quadrática M . Classifique a forma.

(30) 5. Seja W um subespaço vectorial de . Construa uma aplicação linear f : 
tal que Im (f) = W.