LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 7 de Janeiro de  2013						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere um sistema linear AX = B com m (m >1) equações e n incógnitas. Seja CX = D um sistema que resulta de AX = B por eliminação de uma equação.
(15) a) Se o sistema CX = D é impossível o que pode concluir sobre o sistema AX = B? Porquê?
(15) b) Se o sistema AX = B tem solução única o que pode concluir sobre o sistema CX = D? Porquê?

2. Considere a matriz  = .
(10) a) Mostre que = (1, 0, 1) não pertence ao espaço das colunas de .
(15) b) Apresente uma base para o espaço nulo de .
(30) c) Mostre que   definida por , é uma aplicação linear. A aplicação  é sobrejectiva? Porquê?

3. Considere a matriz M = .
(25) a) Calcule os valores próprios da matriz M.
(15) b) Apresente um vector próprio associado ao menor valor próprio da matriz M.
(20) c) Defina matriz diagonalizável e investigue se a matriz M é diagonalizável.
(25) d) Apresente a expressão da forma quadrática M  . Classifique a forma.

(30) 4. Sejam E um espaço vectorial real de dimensão n e  uma aplicação linear. Prove que  é injectiva se e somente se todos os valores próprios de  forem não nulos.