LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 9 de Junho de 2011						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere o sistema 	         com .
(25) a) Discuta o sistema.
(15) b) Fixe = 4. Apresente o conjunto das soluções do sistema.

2. Considere o conjunto F = {(x1, x2, x3) :   x1 = 2x3  e  x2 = 0 }.
(20) a) Mostre que F é um subespaço.
      b) Considere a aplicação linear : F   definida por  (x1, x2, x3) = x1 + x3.
	(20) b1) Apresente a imagem de  e uma base para ela.
(15) b2) A aplicação  é injectiva? Porquê?

3. Considere a matriz A= .
(25) a) Calcule os valores próprios de A.
(15) b) Calcule as multiplicidades geométricas dos valores próprios de A.
(25) c) Apresente a expressão da forma quadrática (x) = xTAx e classifique a forma.

(40) 4. Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(i) Matrizes simétricas semelhantes têm o mesmo traço.
(ii) Espaços vectoriais de dimensão finita e isomorfos têm a mesma dimensão.
     Faça uma prova sucinta para justificar cada uma das suas respostas.