LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL I

DATA: 5 / Junho / 2009							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Uma empresa pode produzir três produtos (P1, P2 e P3) que vende ao preço de 3000, 2000 e 4000 u.m. a tonelada, respectivamente. Para a sua produção são necessárias três matérias-primas (mp1, mp2 e mp3). As quantidades disponíveis para o próximo ano e os preços a que foram compradas são os seguintes:

	mp1	mp2	mp3	
Quantidade (ton.)	40	60	120	
Preço (u.m. / ton)	500	300	200	

O plano produtivo que maximiza a receita obtida com a venda dos três produtos foi determinado como segue:

	V. B.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	2ºs membros		
	Z	-3	-2	-4	0	0	0	0		
	x4	2	1	1	1	0	0	40		
	x5	0	2	2	0	1	0	60		
	x6	1	0	3	0	0	1	120	QUADRO INICIAL	
				(…)						
	V. B.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	2ºs membros		
	Z	0	2	0	3/2	5/4	0	135		
	x1	1	0	0	1/2	-1/4	0	5		
	x3	0	1	1	0	1/2	0	30		
	x6	0	3	0	-1/2	-5/4	1	25	QUADRO FINAL	

									v.s.f.f.

Considere todas as alíneas relativas ao problema apresentado acima.

(20) a) Comente o plano de aprovisionamento das matérias-primas da empresa.
(35) b) Determine o lucro unitário de cada produto e mostre que este é também o plano que maximiza o lucro da empresa.
(30) c) Admita que devido ao mau ano agrícola se prevê uma quebra importante na produção de mp1, que poderá obrigar a uma redução de aprovisionamento para o próximo ano. Faça um estudo que permita à empresa estar preparada para essa eventual redução.
(35) d) Admita que as previsões indicam que os preços das matérias-primas sofrerão no próximo ano acréscimos de 20%, 12% e 8%, respectivamente e que o orçamento da empresa para a compra de matérias-primas terá um acréscimo de apenas 10%.
Formalize um problema de PL cuja solução indique o plano óptimo de aprovisionamento de matérias-primas, supondo que é mantido o objectivo de maximização da receita com as vendas de P1, P2 e P3.
(30) e) Escreva o dual do problema de PL associado ao quadro inicial apresentado e a respectiva solução óptima.  

2. 
(30) a) Usando o método de Vogel, determine uma solução admissível para o problema de transporte cujos dados são os seguintes:

	Oferta =  	Procura =  	Custos unitários = 

 (20) b) Apresente o custo da solução calculada na alínea anterior e investigue se ele é mínimo.

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL I

DATA: 26 / Junho / 2009								Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

(30) 1. Determine uma solução básica admissível, para o seguinte problema de PL, usando o método das duas fases. Calcule o correspondente valor na função objectivo:

					Min    z = 
					s. a 

2. Considere o quadro óptimo para o problema apresentado na pergunta 1:

V.B.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	R	2º membros	
z	-2	0	0	-2	-1	0	2	140	
x3	-1/3	0	1	-1/3	-1/3	0	1/3	40/3	
x2	4/3	1	0	-2/3	1/3	0	2/3	260/3	
x6	11/3	0	0	2/3	-1/3	1	-2/3	100/3	

 (15) a) Faça a análise de sensibilidade do coeficiente de x2 na função objectivo.

(30) b) Calcule a solução óptima com o vector dos segundos membros alterado para [60,  120,  100]T. Apresente o correspondente valor da função objectivo.

(30) 3. Considere o problema de PL:		MAX    Z = 		
					s. a 

Determine os valores de para os quais a solução óptima é única e satura as duas primeiras restrições.

									v.s.f.f.

4. Em três bairros da periferia duma grande cidade (A, B e C) existem, respectivamente, 122, 74 e 86 jovens que irão frequentar pela primeira vez o ensino técnico-profissional no próximo ano lectivo. No bairro A existem duas escolas com vagas para novos alunos; uma pode receber 70 e outra pode receber 40 novos alunos. Na escola do bairro B há 80 vagas e na do bairro C há 70 vagas. No centro da cidade há também uma escola que pode receber jovens dos bairros da periferia. Todos os jovens colocados fora do seu bairro de residência receberão um subsídio de transporte, calculado em função das distâncias (ver quadro I).
(30) a) Determine a distribuição dos estudantes pelas escolas que minimiza o montante total dos subsídios de transporte a pagar aos jovens anualmente.
(30) b) A associação de jovens do concelho defende que deve ser minimizado o número de jovens colocados em escolas fora do seu bairro de residência. Quanto custaria satisfazer esta reivindicação? Quantos jovens seriam beneficiados? 

	Bairro B	Bairro C	Cidade	
Bairro A	120	100	250	
Bairro B		140	90	
Bairro C			80	
QUADRO I – Subsídio anual de transporte (u.m.)

(35) 5. Formalize o seguinte problema de planeamento com um problema de PL:
Um empresário do ramo alimentar vai iniciar a produção e comercialização de uma nova variedade gourmet: chocolate negro com gengibre. Pode vendê-lo em tablete ou em bombons. As tabletes pequenas (75g) serão vendidas a 3.10 € e as grandes (175g) a 7 €. Os bombons (20g) serão vendidos em embalagens de 6 e de 20 unidades a 6 € e 17 €, respectivamente. O empresário pretende que os bombons representem pelo menos 50% da produção desta nova variedade  de chocolate mas está com dificuldade no fornecimento das embalagens: apenas tem garantida a entrega de 100 embalagens para 6 bombons e 150 embalagens para 20 bombons. O empresário pensa que na fase inicial, em que o produto ainda não é conhecido, as tabletes pequenas terão mais venda que as grandes. Por esse motivo quer que as tabletes grandes não representem mais de 20% do total das tabletes. Se tiver capacidade para produzir 100 Kg desta nova variedade de chocolate, como deve o empresário proceder relativamente à sua comercialização?

(NOTA – Indique claramente o significado das variáveis e das funções que usar).