LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 11 / JANEIRO / 2010							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere a matriz  A = . 
(25) a) Defina base de um subespaço de  e apresente uma base para o espaço das linhas de A.
(25) b) As colunas de A geram ? Porquê?
(25) c) Calcule o conjunto das soluções do sistema AX = B, com B = .

(25) 2. Considere os subespaços de :

		U= {(u1, u2, u3) : u1= 2 u2 – u3}    e     V= {(v1, v2, v3) : v1= 2 v2 , v3= 3 v1 }

Mostre que U ∩ V é também um subespaço de e apresente a sua dimensão.  

3. Considere a matriz C = .
(20) a) Use a regra de Cramer para determinar o valor de x1 na solução do sistema C X = .
(30) b) Calcule os valores próprios de C e as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas.

(25) c) Apresente a expressão da forma quadrática f (x)= xT C x. Classifique a forma.

(25) 4. Seja  uma aplicação linear sobrejectiva. 
Prove que se < v1,…,vp > =  então < T(v1), …,T(vp) >  = .

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 27 / JANEIRO / 2010							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

(25) 1. Determine a condição para  sob a qual o seguinte sistema é possível:

2. Considere a aplicação f:   definida por f(x, y) = (-x-2y, 4x +5y), ∀ (x, y) ∊ .
(20) a) Mostre que f é uma aplicação linear.
(10) b) Considere X = (7, -7) e Y = (3, -6). Mostre que f(X) é um múltiplo escalar de X e que f(Y) é um múltiplo escalar de Y.
(30) c) Apresente os valores próprios de f e as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas.
(25) d) Escreva a matriz A de f em relação à base canónica de . Prove que a matriz A é diagonalizável e apresente uma matriz diagonal semelhante à matriz A.

(25) 3. Mostre que o determinante   é nulo,   .

(25) 4. Classifique a forma quadrática .

(40) 5. Seja A uma matriz quadrada de dimensão n, sejam  os seus valores próprios e sejam . Considere as seguintes afirmações:
(a) O subespaço próprio  é o espaço nulo de .
(b) Se  e se  e  então .
Para cada uma das afirmações indique se é verdadeira ou falsa e justifique.