LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 16 / JAN / 2009								Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere  A =     e   b =     com .
(25) a) Determine os valores de  para os quais a característica de A é igual a 4.
(25) b) Fixe . Determine o valor de  para o qual  é nula na solução do sistema Ax = b.
(10) c) Fixe . Apresente uma base para o espaço linha de A.
(10) d) Fixe . Apresente uma base para o espaço nulo de A.

2. Admita que M é uma matriz quadrada de ordem 3 cujos valores próprios são ,  e  .
(15) a) Calcule o determinante da matriz .
(25) b) Calcule os valores próprios da matriz .

3. Considere a matriz B = .
(20) a) Calcule os valores próprios de B.
(20) b) Apresente o subespaço próprio associado a um dos valores próprios de B.
(20) c) Classifique a forma quadrática .

(30) 4. Seja W um subespaço. Admita que W tem dimensão inferior a n e que W.
Construa uma transformação linear
T : 
tal que W = ker (T).

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ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 30 / JAN / 2009   							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere  A =     e   b =     com .
(20) a) Classifique o sistema Ax = b em função dos valores de a e b.
(15) b) Fixe a = 3. Apresente o espaço nulo de A.
(15) c) Fixe a = 0. Apresente uma base para o espaço coluna de A.

2. Considere o conjunto W = .
(20) a) Prove que W é um subespaço de .
(20) b) Determine a dimensão de W.

 3. Considere a matriz B = .
(20) a) Mostre que  é valor próprio de B.
(20) b) Calcule os outros valores próprios de B.

(30) 4. Classifique a forma quadrática .

5. Sejam  e  duas transformações lineares e seja . Prove que:
(20) a) .
(20) b) 

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ÁLGEBRA LINEAR

Data: 17 de Junho de 2009 							Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique todas as respostas.

1.	Considere

a)	Indique um vector não nulo que seja ortogonal à primeira linha de A para qualquer valor de . 
b)	Classifique o sistema A x = b, com x , em função dos valores de  e de .
c)	Considere  = 2. Apresente o espaço nulo de A e indique dois vectores linearmente independentes pertencentes a esse espaço.
d)	Considere   = 0. O vector pertence ao espaço coluna de A? Justifique.

2.	Considere o conjunto 

a)	Mostre que W é um subespaço de.
b)	Apresente um conjunto de geradores de W linearmente dependentes.
c)	Seja T a transformação linear de  definida por 

i) Apresente uma base para a imagem da transformação T.
ii) Calcule os valores próprios da transformação T.  

3.	Considere

      Prove que, se , a matriz A não é diagonalizável.

4.	Uma matriz A é idempotente se . Seja A uma matriz de ordem n, simétrica e idempotente, com característica inferior a n. Classifique a forma quadrática .

Cotações:                
 1.a	 1.b	 1.c	 1.d	 2.a	 2.b	 2.ci)	2.cii)	  3.	  4.	
  10	  25	 20	  15	  20	 20	  20	 25	  25	  20	

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ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 25 de Junho de 2009						Duração: 2 horas
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1. Considere  A ,  com .
(20) a) Determine a característica de A em função dos valores de .
(30) b) Fixe . Considere a transformação linear TA(v) = Av. Apresente a imagem de TA e uma base para ela.
c) Considere a matriz M que resulta de A por eliminação da primeira coluna.
(20) c1) Use a regra de Cramer para determinar o valor da primeira variável do sistema 
Mx = b, com b = [0, 1, 0] T.
(20) c2) Existe algum escalar k para o qual v = [1, 0, k] T seja vector próprio de M? Porquê?
(20) c3)  é valor próprio de M? Porquê?
(25) c4) Apresente a expressão da forma quadrática (x) = x T M x  e classifique-a.

2. Seja B = {b1, b2, b3} = {[1, 2, 3], [2, 4, 2], [-1, 1, 0]}.
(15) a) Mostre que B constitui uma base para .
(20) b) Calcule o vector das coordenadas de v = [0, 1, 0] relativamente à base ordenada (b1, b2, b3).

(30) 3. Seja T :  uma transformação linear. Prove que T é injectiva se e só se é sobrejectiva.