FORMAS QUADRÁTICAS

Uma forma quadrática, com n variáveis, é um polinómio que pode ser escrito na forma

com pelo menos um coeficiente diferente de zero.

CLASSIFICAÇÃO 

Uma forma quadrática , com n variáveis, diz-se:
a) Definida positiva   sse     
b) Definida negativa   sse     
c) Semi-definida positiva sse    e  
d) Semi-definida negativa sse    e  
e) Indefinida   sse     e   

Classificação com base no cálculo de valores próprios

Uma forma quadrática , sendo A uma matriz simétrica, não nula, de dimensão n, é:
a) Definida positiva sse todos os valores próprios de A são positivos
b) Definida negativa sse todos os valores próprios de A são negativos
c) Semi-definida positiva sse  r valores próprios de A são positivos e os restantes (n-r) são nulos
d) Semi-definida negativa sse  r valores próprios de A são negativos e os restantes (n-r) são nulos
e) Indefinida sse  existem valores próprios de A de sinal contrário

Classificação com base na cadeia dos menores principais

Dada uma forma quadrática , sendo A uma matriz simétrica, não nula, de dimensão n, chama-se cadeia dos menores principais à seguinte sequência de determinantes de submatrizes de A:

.
.

.
.

TEOREMA 1: A forma quadrática  é definida positiva sse 

TEOREMA 2: A forma quadrática  é definida negativa sse 

Se   e não são verificadas as condições dos teoremas 1 e 2 a forma é indefinida.
Se  não é, no caso geral, possível classificar a forma com base na cadeia dos menores principais.

CASOS PARTICULARES

Caso 1
Se 

então a forma é semi-definida positiva.

Caso 2
Se 

então a forma é semi-definida negativa.

Folha de Exercícios – Formas Quadráticas

1. Classifique a forma quadrática:

f ( x1 , x2, x3) =   para a 0.

2. Considere a seguinte forma quadrática:

f ( x1 , x2, x3) = 

a) Sabendo que
f (1, 0, 0 ) = 3,   f (0, 1, 0) = 2,  f (0, 1, 1) = f ( 0, 0, 1) = k
determine a expressão da forma quadrática.
b) Classifique a forma quadrática em função dos valores de k.

3. Considere a  matriz  A = 

Classifique a forma quadrática  f (x) = xTA x   em função dos valores de k.

4. Considere  a forma quadrática:

a) Escreva a expressão da forma.
b) Classifique a forma com base nos valores próprios.

5. Considere  
        com 

a) Apresente a matriz simétrica da forma.
b) Mostre que, se , a forma é definida positiva.

6. Considere a matriz

a) Apresente a expressão da forma .
b) Classifique a forma .