LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL I

DATA: 6 / Junho / 2012						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Uma empresa que pode produzir 4 produtos formulou e resolveu o seguinte problema para determinar a quantidade a produzir de cada um dos produtos:

MAX 	Z = 

s.a 

Basic 	x1	x2	x3	x4	Sx5	Sx6	sx7	Rx8	Rx9	Solution	
Z (max)	0	8	0	8	0	2	5	blocked	blocked	572	
Sx5	0	1	0	2	1	1	1/2	-1	-1	8	
x1	1	2	0	2	0	1	1/2	0	-1	38	
x3	0	0	1	1	0	-1	0	0	1	24	
Quadro final obtido com o software TORA

A primeira restrição traduz a limitação na energia que pode ser consumida na produção dos 4 produtos e as restantes duas foram sugeridas pela secção de marketing para garantir visibilidade nos 2 segmentos de mercado em que a empresa se insere.

(20) a) Faça um relatório para a secção de marketing para apoiar a reponderação que essa secção pretende fazer relativamente às condições que sugeriu.
b) Teme-se que no futuro próximo seja preciso reduzir o consumo de energia, havendo a expectativa que mais tarde se possa retomar o nível actual ou até ultrapassá-lo. Faça um estudo que lhe permita responder às seguintes questões:
	(20) Q1. Qual é o limiar para o consumo de energia abaixo do qual a empresa deixará de poder seguir as actuais recomendações da secção de marketing?
	(20) Q2. Quando a situação melhorar, valerá a pena ultrapassar o nível actual? Quanto? Com que consequências?
(35) c) Escreva o problema dual e apresente a respectiva solução óptima.
										v.s.f.f.
 (35) 2. Uma empresa empacota 3 produtos em 3 máquinas que podem funcionar até 6 horas por dia sem interrupção. Cada máquina tem de ser calibrada em função do produto que vai empacotar. Como as operações de calibragem são muito demoradas, só são realizadas no início de cada dia. As velocidades das máquinas, em função dos produtos (pacotes/hora), são as seguintes:

	Máquina 1	Máquina 2	Máquina 3	
Produto 1	200	180	150	
Produto 2	150	140	160	
Produto 3	130	100	110	

Na próxima semana a empresa terá de empacotar 1000, 800 e 1200 unidades dos produtos 1, 2 e 3, respectivamente. Use um modelo de afectação e o algoritmo húngaro para determinar o número máximo de unidades que podem ser empacotadas no primeiro dia. Justifique as suas opções.

3. Considere o problema de transporte cujas ofertas, procuras e custos unitário são:
	a = 		b = 		C = 
(15) a) Determine uma solução admissível com o método do canto superior esquerdo.
(25) b) Faça a primeira iteração do método de Dantzig, partindo da solução da alínea a). Classifique a solução que obtiver.

(30) 4. Foi realizada uma recolha de brinquedos em 5 praias (uma do distrito do Porto, uma do de Lisboa, uma do de Setúbal e duas do de Faro) para responder aos pedidos feitos por crianças carenciadas internadas em 6 hospitais distritais (Porto, Viseu, Lisboa, Setúbal, Beja e Faro). Os números de brinquedos recolhidos nas praias e de crianças carenciadas internadas nos hospitais são os seguintes:

Número de brinquedos recolhidos	Número de crianças carenciadas internadas	
P	L	S	F1	F2	P	V	L	S	B	F	
120	140	60	110	120	160	80	180	160	52	76	

Como não é possível satisfazer todos os pedidos, foram estabelecidas 3 regras:
R1 – Nenhuma criança recebe mais do que um brinquedo;
R2 – Cada hospital recebe, pelo menos, 1 brinquedo por cada 4 pedidos;
R3 – Pelo menos 50% dos brinquedos ficam no distrito onde foram recolhidos.

Formalize um problema de PL cuja solução indique se é possível satisfazer os pedidos de todas as crianças internadas nos hospitais do interior (Viseu e Beja).

NOTA – Indique o significado de todas as variáveis e funções que usar.

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL I

DATA: 29 / Junho / 2012						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere o seguinte problema de PL:

				MAX 	Z = 
					s. a 

(20) a) Use o método das duas fases para mostrar que o problema é possível.
(15) b) Use o algoritmo de simplex para investigar se a solução obtida na alínea a) é ou não óptima.

2. Uma empresa pretende determinar a quantidade a produzir mensalmente de 4 produtos (P1, P2, P3 e P4) que prevê vender aos preços unitários de 3, 5, 4 e 6 u.m, respectivamente. A empresa pretende afectar à produção destes produtos, no máximo, 270 toneladas de matéria-prima e 480 horas de mão-de-obra, por mês, e acha necessário atingir uma produção mensal mínima de 120 unidades.
Os técnicos da empresa construíram um modelo de PL cuja resolução deu origem aos seguintes quadros:

Basic	x1	x2	x3	x4	Sx5	sx6	sx7	Rx8	Solution	
Z (min)	1.0	1.0	1.0	1.0	-1.0	0.0	0.0	0.0	120.0	
sx6	2.0	3.0	5.0	1.0	0.0	1.0	0.0	0.0	270.0	
sx7	4.0	4.0	2.0	6.0	0.0	0.0	1.0	0.0	480.0	
Rx8	1.0	1.0	1.0	1.0	-1.0	0.0	0.0	1.0	120.0	
1ª fase - quadro inicial 
( … )
Basic	x1	x2	x3	x4	Sx5	sx6	sx7	Rx8	Solution	
Z (max)	0.0	0.0	0.0	0.0	11.0	2.0	2.5	blocked	420.0	
x4	0.0	0.5	0.0	1.0	4.0	0.5	0.75	-4.0	15.0	
x1	1.0	0.0	0.0	0.0	-7.0	-1.0	-1.0	7.0	90.0	
x3	0.0	0.5	1.0	0.0	2.0	0.5	0.25	-2.0	15.0	
2ª fase - quadro final 

(25) a) Seria vantajoso para a empresa afectar à produção destes produtos mais 70 horas de mão-de-obra por mês? Se sim, em que condições?
										v.s.f.f.
(25) b) Um dos sócios acha que o limiar de produção mensal destes produtos deveria baixar 5% e o outro sócio acharia que deveria baixar 10%. Estude as duas opções e faça um relatório sucinto com as conclusões a que chegar.
(25) c) Faça a análise de sensibilidade dos preços de venda dos dois produtos mais caros. Comente os resultados obtidos.
(30) d) Um dos sócios defende que a produção mensal dos dois produtos mais baratos deveria ser limitada a 100 unidades. O outro sócio discorda. Faça um estudo que permita a cada um dos sócios fundamentar a respectiva posição.

3. 
(25) a) Resolva pelo algoritmo húngaro o problema de afectação cuja matriz dos custos é a seguinte:

C = 
(10) b) Mostre que o problema da alínea a) tem soluções óptimas alternativas.

(25) 4. Uma biblioteca pública tinha o seguinte plano de aquisição de livros:

	Custo médio por livro	Nº de livros	Sub - total	
Romance	14	80	1120	
Romances histórico	16	60	960	
Ensaio	14	20	280	
Livro técnico	25	40	1000	
Banda desenhada	18	50	900	
Livro infanto-juvenil	10	100	1000	
TOTAL (euros)			5260	

Dadas as circunstâncias, o orçamento para  a aquisição de livros foi reduzido para 3000 euros. A direcção da biblioteca decidiu adoptar as seguintes regras na reformulação do plano:

R1) A despesa com livros infanto-juvenis não pode ser inferior a 18% do total.
R2) O plano de aquisições dos livros técnicos será mantido, para apoiar os estudantes.
R3) Serão comprados, pelo menos, 20 livros de banda desenhada.
R4) A despesa com romances e romances históricos representará entre 25% e 35% do total. 

Formalize um problema de PL cuja solução dê o plano de aquisições que permite comprar o maior número de livros, respeitando as 4 regras enunciadas e o corte orçamental.

NOTA – Indique o significado de todas as variáveis e funções que usar.