LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL I

DATA: 6 / Junho / 2008								Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Suponha que uma empresa pode produzir 2 produtos, P1 e P2, dispondo de duas tecnologias distintas para produzir cada um deles, de acordo com: 
	Produto P1	Produto P2		
	Tecnologia 1 	Tecnologia 2	Tecnologia 1	Tecnologia 2	Disponibilidades	
m.o.  (semanas)	1	1	1	1	15	
m. p. 1 (ton)	2	10	3	2	120	
m. p. 2 (ton)	3	5	5	5	100	
Lucro(103 euros/ton)	4	15	9	11		
Produção (ton)	x1	x2	x3	x4		

O plano produtivo que maximiza o lucro total foi obtido com o seguinte quadro de simplex:

Var. básicas	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	2ºs membros	
Z	7	0	5/2	0	10	1/2	0	210	
x4	1	0	7/8	1	5/4	-1/8	0	15/4	
x2	0	1	1/8	0	-1/4	1/8	0	45/4	
x7	-2	0	0	0	-5	0	1	25	

Considere todas as alíneas independentes.
 (25) a) Elabore um relatório para enviar à direcção da empresa. 
(35) b) Até que valor pode a empresa reduzir o lucro unitário do seu produto mais lucrativo sem ter de alterar a estrutura do plano produtivo? Se o reduzir para além desse limite como deverá proceder para obter o lucro máximo?
(30) c) Admita que a totalidade da produção de P2 é vendida a outra empresa que faz o empacotamento e que o transporte entre as duas empresas é da responsabilidade do fabricante. Se no período em estudo a capacidade de transporte for apenas de 3 toneladas como deve a empresa proceder? 
v.s.f.f.
 (25) d) Escreva o dual, e a respectiva solução óptima, do problema que deu origem ao quadro de simplex apresentado acima. 
(20) e) Mostre que a condição dos desvios complementares é verificada pelo par de soluções primal e dual retirado do quadro de simplex.

(35) 2. Uma empresa pretende recrutar 4 pessoas, uma para a secção I, duas para a secção II e uma para a secção III. Após a realização das provas em cada uma das secções, as pontuações (numa escala de 0 a 100) obtidas pelos cinco melhores candidatos foram as apresentadas no quadro. Como deve ser feito o recrutamento, em função dos resultados das provas, para se obter a melhor qualidade média?
	C1	C2	C3	C4	C5	
I	81	65	73	84	79	
II	77	82	83	74	71	
III	89	88	85	82	86	

 (30) 3. Formalize como um problema de programação linear o seguinte problema de planeamento:
Com base nas estimativas feitas para as produtividades da terra e do trabalho e para os preços de venda dos produtos (ver quadro), uma empresa agrícola pretende determinar a área que deve atribuir ao cultivo de milho, trigo, soja, aveia e cevada de forma a obter a maior receita possível com a venda destes produtos. Para reduzir os riscos de mercado a empresa pretende garantir uma produção de, pelo menos, 450 toneladas de milho para alimentação do seu gado e que nenhuma cultura ocupe uma área superior a 40% do total cultivado. Se a empresa puder disponibilizar 300 hectares de terra e 31000 horas de trabalho para estes cinco produtos, que área deve ser atribuída a cada um?

	MILHO	TRIGO	SOJA	AVEIA	CEVADA	
Produção (ton / hectare)	10	4	4	8	6	
Trabalho (horas / hectare)	120	150	100	80	120	
Preço de venda  (u.m. / ton)	120	150	60	80	55	

NOTA – Indique claramente o significado de todas as variáveis e funções que utilizar.

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL I

DATA: 26 / Junho / 2008								Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Uma empresa pode produzir 3 produtos de acordo com as condições apresentadas no quadro:

	P1	P2	P3	Disponibilidade	
m. p. 1 (ton)	4	6	2	50	
m. p. 2 (ton)	3	5	1	80	
margem (103 euros)	5	6	4		

Um cliente encomendou 12 toneladas de P1 e a empresa decidiu satisfazer essa encomenda. Para determinar o plano óptimo de produção foi formalizado e resolvido o seguinte problema de PL:
Max	
s. a		[m.p. 1]
		[m.p. 2]
		[encomenda]

Var. básicas	x1	x2	x3	x4	x5	x6	R	2ºs membros	
Z	0	6	0	2	0	3	-3	64	
x3	0	3	1	1/2	0	2	-2	1	
x5	0	2	0	-1/2	1	1	-1	43	
x1	1	0	0	0	0	-1	1	12	

Considere todas as alíneas relativas à solução dada no quadro acima.

(20) a) Elabore um relatório para enviar à direcção da empresa.
(25) b) Estude a possibilidade de comprar mais matéria-prima 1 e elabore um relatório com as conclusões do estudo.
											v.s.f.f.
 (15) c) Se for possível aumentar em 10% a margem do produto de menor margem, a empresa deverá alterar o seu plano de produção? 
(25) d) Se a empresa tiver capacidade para melhorar o processo de produção de P2 de forma a reduzir para metade o seu consumo unitário de mp1 e de mp2 tem vantagem em passar a produzir P2? Porquê?
(25) e) Se o cliente cancelar a encomenda como deve a empresa proceder? Porquê?

2. Considere o problema de transporte cuja matriz de custos unitários de transporte, C, vector de ofertas, a, e vector de procuras, b, são os seguintes:

C = 		a = 		b = 

(20) a) Construa o quadro correspondente à solução:
           x11 = x24 = x33 = 4;    x12 = 14;    x31 = 2;    x43 = 11;    x44 =1;    xij = 0  todos os outros
e mostre que ela é admissível.
(20) b) A partir da solução apresentada em a) calcule a solução óptima e o respectivo custo.
(20) c) Escreva o dual do problema de transporte apresentado e a respectivo valor óptimo.

(30) 3. Construa um modelo de PL cuja solução óptima permita responder à seguinte questão:
Um estudante vai iniciar um curso universitário com mestrado integrado (5 anos). Actualmente dispõe de uma poupança de 280 euros e pretende aumentá-la durante o curso para no fim realizar uma viagem. No início de cada ano pode fazer depósitos bancários a prazo de 1 e de 2 anos com remunerações de 3.75% e 7.85%, respectivamente. No início de segundo ano pode também comprar certificados que após três anos dão uma remuneração de 12.05%. Como deve o estudante proceder para chegar ao fim do curso nas melhores condições financeiras para fazer a viagem?

NOTA – Indique claramente o significado de todas as variáveis e funções que utilizar.