LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO

ÁLGEBRA LINEAR

DATA: 25 de Junho de 2009						Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas

1. Considere  A ,  com .
(20) a) Determine a característica de A em função dos valores de .
(30) b) Fixe . Considere a transformação linear T_A(v) = Av. Apresente a imagem de T_A e uma base para ela.
c) Considere a matriz M que resulta de A por eliminação da primeira coluna.
(20) c1) Use a regra de Cramer para determinar o valor da primeira variável do sistema 
Mx = b, com b = [0, 1, 0] ^T.
(20) c2) Existe algum escalar k para o qual v = [1, 0, k] ^T seja vector próprio de M? Porquê?
(20) c3)  é valor próprio de M? Porquê?
(25) c4) Apresente a expressão da forma quadrática (x) = x ^T M x  e classifique-a.

2. Seja B = {b_1, b_2, b_3} = {[1, 2, 3], [2, 4, 2], [-1, 1, 0]}.
(15) a) Mostre que B constitui uma base para .
(20) b) Calcule o vector das coordenadas de v = [0, 1, 0] relativamente à base ordenada (b_1, b_2, b_3).

(30) 3. Seja T :  uma transformação linear. Prove que T é injectiva se e só se é sobrejectiva.