A Study on Thiele's Differential Equation

Thorvald Nicolai Thiele foi um importante investigador dinamarquês. Entre os seus contributos, destaca-se em particular o facto de ter provado que para um seguro de vida inteira com benefício de valor 1, emitido sobre uma pessoa e pago imediatamente após a morte, as reservas prospetivas satisfazem uma equação diferencial linear: a chamada equação diferencial de Thiele. De um modo mais geral, as equações diferenciais de Thiele são um sistema diferencial linear de equações que descrevem a dinâmica das reservas nos seguros de vida e pensões em tempo contínuo. Este texto tem como principal objetivo rever de forma tão completa quanto possível as contribuições relacionadas com a equação de Thiele que foram surgindo ao longo do tempo, dando assim o presente estado de arte deste relevante tópico. Começando por fazer uma revisão breve do essencial da matemática atuarial avança depois para a derivação da equação de Thiele, considerando os dois modelos de mortalidade, o clássico e o de múltiplos estados, sobre uma pessoa e sobre várias pessoas. Algumas ilustrações, para vários tipos de contrato, são seguidamente introduzidas. Dos desenvolvimentos conhecidos, dá-se especial destaque às generalizações da equação diferencial que incluem um processo estocástico de pagamentos e um processo de difusão para a taxa de juro. Apresenta-se também o uso da equação como ferramenta para o desenvolvimento de produtos de seguro de vida e descreve-se uma generalização da equação diferencial para uma carteira fechada de seguros. A última parte do trabalho faz um resumo de outros contributos relacionados com a equação.