Risk Bounds for Unimodal Distributions under Partial Information

Neste documento, começamos por estudar os limites superiores para Value-at-Risk, Tail-Value-at-Risk e Range-Value-at-Risk de distribuições unimodais quando apenas os limites superiores da média e da variância são conhecidos. Num primeiro passo, usamos o processo do ordenamento simples convexo para reduzir o problema de otimização a um problema de otimização paramétrico. Num segundo passo, resolvemos este problema de otimização paramétrico e obtemos soluções explícitas para todos os níveis de probabilidade. As nossas soluções são consistentes com as de Li et al. (2018), mas a sua análise é longa e as suas soluções limitadas ao caso em que as probabilidades se encontram no intervalo [5/6; 1[. Em segundo lugar, dado que a hipótese da não negatividade é comum nos estudos atuariais, estudamos como esta hipótese pode melhorar os limites superiores do Value-at-risk. Além disso, aplicamos a análise de dois passos para encontrar o limite superior do Value-at-Risk num cenário em que a função quantil é totalmente conhecida num intervalo específico de níveis de probabilidades. Por fim, avaliamos o risco do modelo que o modelo Beta gera numa carteira específica de créditos. Os resultados mostram que a adição da hipótese da unimodalidade e o conhecimento completo de uma parte da função quantil melhoram os limites superiores do risco. Por outro lado, a hipótese da não negatividade pode não trazer qualquer melhoria no caso de se verificar uma variância pequena ou na avaliação do Value-at-Risk a um nível de probabilidade baixo.