Nonlinear models in Option Pricing

O modelo linear clássico de Black-Scholes para apreçamento de opções foi obtido através de várias restrições, tais como a assunção de um mercado completo, negociação continua e custos de transação nulos. Apesar de ser mais fácil de perceber e de estudar, é um modelo muito irrealista. Assim dizendo, estas condições criam algumas discrepâncias quando o modelo é comparado ao mundo real e ao mercado. Nesta dissertação, o nosso foco é o apreçamento de opções de venda americanas, o que, do ponto de vista matemático, nos leva ao estudo dos problemas de fronteira livre. Vamos admitir a presença de custos de transação, o que implica considerar uma equação de Black-Scholes não linear. O nosso foco principal vai ser o apreçamento de uma opção de venda americana perpétua, com custos de transação decrescentes, assumindo que o preço da opção é a solução de uma equação generalizada estacionária de Black-Scholes, e a volatilidade é uma função que pode depender da segunda derivada do preço da opção. Estabelecemos a existência e unicidade do resultado da função do apreçamento da opção, P, e a posição de fronteira livre, ρ, para o problema de fronteira livre associado.