American Options and the Black-Scholes Model

Os problemas de apreçamento de opções têm sido um dos principais assuntos de em Matemática Financeira, desde a criação desse conceito nos anos 70. Mais especificamente, as opções americanas são de grande interesse nesta área do conhecimento porque são matematicamente muito mais complexas do que as opções europeias padrão e o modelo de Black-Scholes não fornece, na maioria dos casos, uma fórmula explícita para a determinação do preço deste tipo de opções. Nesta dissertação, mostramos como o estudo de opções americanas conduz à análise de problemas de fronteira livre devido à possibilidade de exercício antecipado, onde nosso principal objetivo é encontrar o preço de exercício ótimo. Também apresentamos a reformulação do problema em termos de um problema de complementaridade linear e de desigualdade variacional parabólica. Além disso, também abordamos a caracterização probabilística das opções americanas com base no conceito de tempos de paragem ótima. Essas formulações, aqui tratadas em termos analíticos ou probabilísticos, podem ser muito úteis na aplicação de métodos numéricos ao problema de precificação de opções do estilo americano, uma vez que, na maioria dos casos, é quase impossível encontrar soluções explícitas. Além disso, utilizamos o Método da Árvore Binomial, que é um método numérico muito simples do ponto de vista matemático, para ilustrar alguns aspectos da teoria estudada ao longo desta tese e para comparar as opções americanas com as opções europeias e bermudas, por meio de alguns exemplos numéricos.